포트폴리오 이론

두 숫자로 고르기: 평균-분산

포트폴리오를 고르는 사람이 원하는 것은 단순하다. 많이 벌고, 덜 흔들리는 것. 마코위츠는 이 두 바람을 숫자 두 개로 적었다. 1년 뒤 수익률의 평균인 기대수익(Expected return, μ), 그리고 그 수익률이 평균에서 얼마나 퍼지는지를 재는 변동성(Volatility, σ)이다. 변동성은 수익률의 표준편차로, 13장에서 연 단위로 쟀던 바로 그 숫자다.

이 두 숫자만 보면 모든 포트폴리오는 평면 위의 점 하나가 된다. 가로축은 위험(σ), 세로축은 기대수익(μ). 위로 갈수록 좋고 왼쪽으로 갈수록 좋다. 그래서 같은 위험이면 더 위에 있는 점이, 같은 수익이면 더 왼쪽에 있는 점이 이긴다. 이것이 평균-분산 분석(Mean-variance analysis)이다. 기대수익이 높은 자산을 고르는 일이 아니라, 섞어서 평면의 왼쪽 위로 가는 방법을 찾는 일이다.

MoneyBook 16장에서는 주식·채권·현금·금 네 자산으로 이 지도를 처음 그렸다. 이 장은 같은 지도를 종목 수준으로 내려가 더 깊이 판다. 재료는 이 책의 가상 회사 다섯 곳과 가상 지수, 가상 채권이다. 아래 숫자는 교육용 가정이다. 기대수익은 뒤에서 다룰 CAPM 공식(무위험 3% + 베타 × 5%)으로 정했고, 변동성과 베타는 엔진의 ST.CO에서 왔다. 앞으로 이렇게 된다는 보장은 없다.

마지막 열은 무위험 금리 3%를 넘는 초과 수익을 변동성으로 나눈 값으로, 뒤에서 샤프 비율이라는 이름을 얻는다. 벌써 흥미로운 점이 보인다. 지수의 이 값(0.30)이 다섯 회사 누구보다 크다. 지수는 기대수익이 가장 높지도 않은데, 흔들림 한 단위당 버는 것이 가장 많다. 왜 그런지가 이 장 전체의 이야기다. 종목 사이의 상관은 한 가지 공통 요인(시장)으로 정했다. 두 종목은 둘 다 시장을 따라 움직이는 만큼만 함께 움직이고, 나머지는 각자의 사정이다.

두 자산: 곡선이 휘는 이유

가장 작은 포트폴리오부터 보자. 한빛반도체(μ 9.5%, σ 38%)와 누리식품(μ 6%, σ 20%) 둘만 섞는다. 기대수익은 단순하다. 반반 섞으면 기대수익도 정확히 반반, 7.75%다. 그런데 변동성은 반반이 아니다. 두 회사의 수익률이 언제나 같은 방향으로 같은 크기만큼 움직이는 게 아니라면, 한쪽이 떨어질 때 다른 쪽이 덜 떨어지거나 오르며 일부를 메운다. 그 메움의 크기를 정하는 숫자가 상관계수(Correlation, ρ)다. +1이면 완전히 같이, 0이면 서로 무관하게, −1이면 정반대로 움직인다.

앞의 두 항은 각자의 흔들림이고, 마지막 항이 "함께 움직이는 정도"다. ρ가 1보다 작으면 이 항이 줄어들고, 그만큼 포트폴리오의 변동성이 두 변동성의 가중평균보다 작아진다. 아래 그림에서 비중 점을 곡선을 따라 끌어 보고, 상관계수 슬라이더를 움직여 곡선이 어떻게 휘는지 본다.

첫 번째 실험이 이 장에서 가장 중요한 관찰이다. 위험이 더 큰 자산(σ 38%)을 조금 섞었는데 전체 위험이 줄었다. 누리만 들고 있는 사람은 한빛을 13% 섞으면 더 벌면서 덜 흔들린다. 그러니 누리 100%는 아무도 고를 이유가 없는 점, 비효율적(Inefficient)인 점이다. 곡선에서 가장 왼쪽 점(최소분산)보다 아래쪽은 모두 그렇다. 같은 위험으로 더 높은 수익을 주는 점이 바로 위에 있기 때문이다. 그래서 곡선의 위쪽 반만 남는데, 이 부분을 효율적 투자선(Efficient frontier)이라 부른다.

곡선이 왜 휘는지는 공식을 그림으로 바꾸면 더 잘 보인다. 분산은 넓이다. 한빛 몫의 변동성 \(w\sigma_A\)와 누리 몫 \((1-w)\sigma_B\)을 변으로 하는 정사각형을 그리면, 네 칸 중 대각선 두 칸이 각자의 흔들림, 나머지 두 칸이 함께 움직이는 부분이다. 상관계수는 그 두 칸을 얼마나 채울지를 정한다.

칸으로 보면 분산 효과의 정체가 분명하다. 분산을 줄이는 것은 각자의 흔들림(대각선)이 아니라 함께 움직이는 부분이다. 종목을 여럿 담으면 대각선 칸은 종목 수에 비례해 작아지지만, 함께 움직이는 칸은 종목 수의 제곱만큼 늘어 결국 전체를 지배한다. 그래서 종목을 아무리 늘려도 시장 전체가 함께 움직이는 위험은 남는다(13장의 체계적 위험). 상관이 곡선의 모양을 얼마나 바꾸는지 감을 잡았는지 게임으로 확인해 보자.

여러 자산: 구름과 그 가장자리

자산이 셋이 되면 비중의 조합은 선이 아니라 면이 된다. 세 비중의 합이 1이므로, 모든 조합을 삼각형 안의 점으로 나타낼 수 있다. 꼭짓점은 한 자산 100%, 변 위는 두 자산만, 안쪽은 셋 모두를 담은 포트폴리오다. 아래 왼쪽 삼각형의 점을 끌면 오른쪽 평균-분산 평면의 점이 따라 움직인다.

두 번째 실험의 결론은 자산을 하나 더할 때마다 가장자리가 왼쪽 위로 밀려 나간다는 것이다(적어도 나빠지지는 않는다. 안 쓰면 되니까). 다섯 종목이면 비중 공간은 4차원이라 그릴 수 없지만, 무작위로 비중을 뽑아 점을 찍으면 그 결과는 여전히 평면 위의 구름이다. 구름이 생기는 모습과 그 가장자리가 드러나는 과정을 보자.

점 1,200개가 만든 구름의 가장 왼쪽 끝이 최소분산 포트폴리오(Minimum-variance portfolio)다. 기대수익은 전혀 보지 않고 공분산만으로 계산되는 유일한 점이라, 뒤에서 다시 중요해진다. 이 가정에서 최소분산 포트폴리오는 누리 약 61%, 다온 약 30%, 한빛과 모아 각 4~5%, 별빛 0%이고, 기대수익 6.7%, 변동성 17.5%다. 변동성이 가장 낮은 누리(20%)보다도 낮다.

엔진의 ST.frontier는 공매도(없는 주식을 빌려 파는 것, 19장)를 허용한 효율적 투자선을 공식으로 바로 계산한다. 이 선 위를 걸으면서 비중이 어떻게 바뀌는지 보자.

투자선의 양 끝으로 갈수록 막대가 0을 뚫고 나간다. 공식이 허락하는 대로 기대수익을 끝까지 쫓으면, 최적의 답은 "기대수익이 낮은 종목을 빌려 팔고 높은 종목을 더 사라"가 된다. 개인 투자자는 공매도를 거의 할 수 없고, 해도 비용과 위험이 크다. 그래서 실제로는 비중을 0 이상으로 묶은 투자선(앞 구름의 가장자리)이 현실의 한계다. 두 선은 투자선 가운데에서는 거의 겹치고, 양 끝에서 벌어진다.

무위험 자산과 자본시장선

이제 지도에 특별한 점 하나를 더한다. 변동성이 0이고 수익이 확정된 무위험 자산(Risk-free asset)이다. 현실에서는 단기 국채나 예금이 가깝다. 이 장의 가정은 연 3%(교육용 대표값, 실제 금리는 때마다 다르다)다. 무위험 자산과 위험 포트폴리오 하나를 섞으면, 무위험 자산의 σ가 0이고 상관도 0이라 앞의 분산 공식에서 두 항이 사라진다. 변동성이 비중에 정비례하므로, 둘을 섞은 결과는 곡선이 아니라 직선이다.

그렇다면 어느 위험 포트폴리오와 섞어야 할까? r_f에서 출발하는 직선 중 가장 가파른 것이 모든 위험 수준에서 가장 높은 수익을 준다. 가장 가파른 직선은 투자선에 딱 접하는 직선이다. 이 직선이 자본시장선(Capital market line, CML), 접하는 점이 접점 포트폴리오(Tangency portfolio)이고, 그 기울기가 샤프 비율(Sharpe ratio)이다.

아래에서 무위험 금리를 바꾸면 자본시장선이 돌면서 접점이 투자선 위를 미끄러진다. 세로축의 r_f 점을 직접 끌어도 된다.

세 번째 실험은 직관과 맞는다. 무위험 금리가 오르면 안전하게 얻는 몫이 커지므로, 위험을 질 이유가 있는 포트폴리오는 더 높은 기대수익을 주는 쪽으로 밀려난다. 무위험 금리가 최소분산 포트폴리오의 기대수익(6.7%)에 가까워지면 접점은 끝없이 멀어지며 공식이 무너진다. 그리고 두 번째 실험은 이 장의 큰 주제를 미리 보여 준다. 섞은 것(접점)의 샤프 비율 0.24는 다섯 종목 중 가장 좋은 다온의 0.18보다 크다. 섞는 것 자체가 위험 한 단위당 수익을 올린다.

샤프 비율은 r_f에서 그 점까지 그은 직선의 기울기이므로, r_f에서 뻗어 나가는 직선 하나 위의 점들은 모두 샤프 비율이 같다. 지도 위에 이 직선들을 등고선처럼 깔아 두면, 어떤 포트폴리오든 놓이는 자리만 보고 샤프 비율을 읽을 수 있다.

두 번째 실험이 샤프 비율이 쓸모 있는 이유다. 변동성이 너무 큰 펀드는 일부만 담고 나머지를 예금에 두면 되고, 너무 얌전한 펀드는 (빌릴 수 있다면) 더 담으면 된다. 위험의 양은 섞는 비율로 얼마든지 조절할 수 있지만, 위험 한 단위당 수익인 기울기는 섞어서 바꿀 수 없다. 그래서 위험 자산을 고를 때 볼 것은 기대수익이 아니라 기울기다. 다만 이 논리는 빌리는 금리가 r_f와 같다는 가정 위에 서 있다. 개인이 빌리는 금리는 훨씬 높고, 빚을 내 투자하면 19장에서 볼 반대매매라는 다른 위험이 생긴다.

위험 선호는 선 위의 위치만 바꾼다

앞 절의 결론을 한 걸음 더 밀면 놀라운 문장이 나온다. 모든 사람이 같은 기대수익·변동성·상관을 믿는다면, 조심스러운 사람이든 과감한 사람이든 위험 자산 바구니는 똑같이 접점 포트폴리오를 든다. 다른 것은 그 바구니와 무위험 자산을 섞는 비율뿐이다. 이것을 분리 정리(Separation theorem, 토빈)라 한다. 무엇을 살지(바구니)와 얼마나 위험을 질지(비율)가 두 개의 독립된 결정으로 분리된다.

섞는 비율은 무엇이 정할까? 경제학은 위험을 싫어하는 정도를 위험 회피도(Risk aversion, A)라는 숫자 하나로 나타내고, 사람이 "기대수익 − (A/2) × 분산"을 가장 크게 하는 점을 고른다고 본다. 그러면 접점 포트폴리오에 넣는 비율은 \(y^* = \dfrac{\mu_T - r_f}{A\,\sigma_T^2}\)가 된다. A가 두 배가 되면 위험 자산 비중이 반으로 준다. 그림에서는 자본시장선에 접하는 휘어진 선(무차별 곡선, 같은 만족을 주는 점들의 선)이 그 자리를 가리킨다.

분리 정리는 실제 투자 상품의 구조를 설명한다. 모든 사람에게 같은 위험 바구니 하나를 팔고, 사람마다 예금이나 채권과 섞는 비율만 다르게 권하면 된다. 다만 세상 모두가 같은 숫자를 믿는다는 가정은 현실과 거리가 멀다. 그 가정을 진지하게 받아들이면 무슨 일이 생기는지가 다음 절이다.

CAPM: 시장이 정하는 기대수익

모든 투자자가 같은 숫자를 믿고 분리 정리대로 행동한다고 해 보자. 모두가 같은 접점 포트폴리오를 들고 있으니, 시장에 있는 모든 주식을 합친 것, 즉 시장 포트폴리오 자체가 접점이어야 한다. 누군가 사지 않는 주식이 있다면 그 주식의 가격이 떨어져 기대수익이 올라가고, 결국 누군가의 바구니에 들어간다. 1960년대 샤프와 린트너 등이 이 논리를 끝까지 따라가 얻은 결론이 자본자산 가격결정 모형(CAPM)이다.

CAPM의 메시지는 짧다. 보상받는 위험은 베타뿐이다. 별빛바이오의 변동성 65% 중 대부분은 신약 하나에 걸린 회사만의 사정이고, 이것은 다른 종목과 섞으면 사라지는 위험이다. 섞으면 공짜로 없앨 수 있는 위험을 진다고 해서 시장이 수익을 더 줄 이유가 없다. 그래서 기대수익은 변동성이 아니라 베타에 비례하고, 베타와 기대수익의 관계는 직선 하나, 증권시장선(Security market line, SML)이 된다. 이 장의 가정표가 바로 이 선 위에서 만들어졌다.

현실의 수익률이 이 선에서 벗어난 만큼을 알파(Alpha, α)라 한다. 양(+)의 알파는 위험(베타)으로 설명되지 않는 초과 수익이다. 펀드 매니저가 자랑하는 숫자가 이것이다. 아래에서 가정(기대)과 가상 시장 10년의 실현 결과를 바꿔 보며, 각 회사의 알파를 읽어 보자. 점을 누르면 그 회사가 골라진다.

세 번째 실험이 알파를 대하는 올바른 태도다. 회사 고유의 변동성이 연 31%(한빛)라면 10년 평균 수익률의 오차는 대략 \(31\% / \sqrt{10} \approx 10\%\)p다. 알파가 +6%p여도 0과 구별되지 않는다. 오차를 절반으로 줄이려면 관찰 기간이 네 배, 40년이 필요하다. 알파를 증명하는 데 필요한 시간이 투자자의 인내심보다 길다는 것, 이것이 지난 성과로 종목이나 펀드를 고르기 어려운 근본 이유다(17장).

최적화는 오차 증폭기

여기까지의 수학은 깔끔하다. 기대수익, 변동성, 상관만 알면 최적 비중이 공식 하나로 나온다. 문제는 그 "알면"이다. 변동성과 상관은 과거 데이터로 꽤 잘 추정되지만, 기대수익은 거의 추정되지 않는다. 앞에서 봤듯 10년 데이터로도 한 종목의 평균 수익률 오차는 ±10%p 안팎이다. 그런데 최적화는 기대수익의 차이에 민감하게 반응하도록 만들어져 있다. 조금 더 높아 보이는 종목에 크게 걸고, 조금 낮아 보이는 종목은 빼거나 공매도한다. 입력의 작은 오차가 출력의 큰 비중 차이가 된다.

직접 확인해 보자. 아래 실험은 다섯 종목의 기대수익에 작은 잡음을 더한 뒤 접점 포트폴리오를 다시 계산한다. 점선 테두리는 참값으로 계산한 값, 채운 막대는 잡음이 섞인 추정으로 계산한 값이다.

여러 번 뽑아 보면 증폭 배율이 대개 10배를 넘는다. 기대수익을 1%p 안팎 잘못 알면 비중이 10~40%p 틀린다. 그런데 실제 추정 오차는 1%p가 아니라 10%p 단위다. 그렇다면 정직한 질문은 이것이다. 과거 데이터로 추정해서 최적화한 포트폴리오가, 아무 추정도 하지 않고 다섯 종목에 똑같이 20%씩 넣은 균등 가중(1/N) 포트폴리오를 이길 수 있을까? 참값을 아는 가상 세계에서 실험할 수 있다. 참값으로 수익률을 만들어 몇 년치를 관찰하고, 그것으로 추정·최적화한 비중을 참값으로 평가한다(표본 밖 성과).

이것이 이 장에서 가장 실용적인 결론이다. 이론상 최적은 분명 존재하지만, 우리는 그 위치를 모른다. 최적화는 추정의 잡음을 신호로 착각해 가장 운 좋았던 종목에 비중을 몰아 준다. 실제 데이터로 한 연구들(대표적으로 2009년 드미겔 등의 연구)도 여러 최적화 방법 중 표본 밖에서 1/N을 꾸준히 이긴 것이 거의 없다고 보고했다.

그래서 단순한 방법들이 강하다. 균등 가중은 기대수익을 전혀 추정하지 않으니 추정 오차도 없다. 시가총액 가중(회사 크기만큼 담기)은 더 깊은 근거가 있다. CAPM이 맞다면 시장 포트폴리오가 곧 접점이고, 시가총액 가중은 시장 전체의 추정을 그대로 빌려 쓰는 셈이다. 수많은 투자자의 판단이 이미 가격에 들어 있으니, 내가 따로 추정할 필요가 없다. 게다가 가격이 오르면 비중도 저절로 따라 올라 사고팔 일이 거의 없다. 지수가 실제로 어떻게 시가총액 가중으로 만들어지는지는 15장에서 본다. 최적화가 쓸모없다는 뜻은 아니다. 추정이 비교적 믿을 만한 공분산만 쓰는 최소분산 포트폴리오, 추정치를 시장 기준으로 끌어당기는 방법(블랙-리터만) 등은 오차 증폭을 줄이려는 시도다.

리밸런싱: 비중은 저절로 표류한다

비중을 한 번 정했다고 끝이 아니다. 주식이 오르면 주식 비중이 저절로 커지고, 떨어지면 작아진다. 70 대 30으로 시작한 포트폴리오가 강세장 몇 년 뒤에는 80 대 20이 되어 있다. 내가 고른 위험이 아닌 다른 위험을 지고 있는 것이다. 정해 둔 비중으로 되돌리는 일을 리밸런싱(Rebalancing)이라 한다. 아래는 가상 시장의 SB 종합지수와 가상 채권(둘 다 교육용으로 만든 가짜 가격, 10년)에 1,000만원을 넣고 그대로 둔 경우와 해마다 되돌린 경우다.

리밸런싱은 기계적으로 "많이 오른 것을 팔고 덜 오른 것을 사는" 일이다. 이 습관에서 덤이 생길 수 있다. 극단적인 예로 확인해 보자. 해마다 동전을 던져 앞면이면 +50%, 뒷면이면 −33.3%(1.5로 나누기)가 되는 주식이 있다. 앞뒤가 반반 나오면 이 주식은 제자리다. 여기에 이자가 0인 현금을 반반 섞는다.

마법처럼 보이지만 원리는 10장의 변동성 끌림이다. 주식 하나는 산술평균 수익률이 +8.3%인데 흔들림이 커서 복리로는 0%가 된다. 반반 포트폴리오는 산술평균이 +4.2%로 절반이지만 흔들림이 절반이라 끌림이 4분의 1로 줄고, 복리로 연 약 2.1%가 남는다. 리밸런싱 없이 방치하면 이 효과가 생기지 않는다. 비중이 점점 한쪽으로 쏠려 결국 그 자산 하나처럼 움직이기 때문이다.

현실에서 이 보너스는 동전 주식보다 훨씬 작다. 자산들이 같은 방향으로 오래 움직이면(추세가 이어지면) 오른 것을 판 리밸런싱이 오히려 손해를 본다. 그래서 리밸런싱의 주된 이유는 보너스가 아니라 내가 정한 위험을 유지하는 것이다. 그렇다면 얼마나 자주 해야 할까? 너무 자주 하면 거래 비용이 쌓이고, 너무 드물면 표류가 커진다.

막대들의 높이 차이는 생각보다 작다. 주기를 정하는 일보다 정한 주기를 지키는 일이 더 중요하다는 뜻이다. 흔히 쓰는 방법은 연 1회처럼 날짜를 정하거나, 비중이 목표에서 5%p 이상 벗어날 때만 되돌리는 밴드 방식이다. 새로 들어오는 적립금으로 모자란 쪽을 사면 팔지 않고도 리밸런싱할 수 있어 세금과 비용을 아낄 수 있다.

한결의 위치 찍기

마지막으로 이 장의 도구를 모두 한 지도에 모은다. 다섯 종목, 지수, 채권 일곱 자산의 무작위 포트폴리오 구름, 효율적 투자선, 무위험 3%에서 그은 자본시장선. 그리고 MoneyBook에서 한결이 정한 주식 70 · 채권 30을 이 지도에 찍는다. 주식 몫을 지수로 채울지, 직접 고른 종목으로 채울지를 슬라이더로 바꿔 본다. 빨간 영역은 나쁜 해(μ − 2σ)가 한결이 정한 감내선 −30%보다 나쁜 곳이다.

왜 지수 쪽이 투자선에 붙는지 이제 설명할 수 있다. 이 장의 가정은 CAPM 위에 세워져 있어, 일곱 자산의 접점 포트폴리오는 지수 약 42%와 채권 약 58%이고 개별 종목은 0%다. 개별 종목의 고유 위험은 보상이 없는 위험이라, 담을수록 같은 기대수익에 더 큰 변동성을 진다. 물론 이 결과는 가정에서 나온 것이다. 어떤 종목에 진짜 알파가 있다면 그 종목은 접점에 들어간다. 다만 앞 절에서 봤듯, 그 알파를 미리 아는 것은 매우 어렵다.